Résoudre 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Factoriser

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 25n^{2}+an+bn+9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

La solution est la paire qui donne la somme -30.

$$a=-15 b=-15$$

Réécrire 25n^{2}-30n+9 en tant qu’\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

Factorisez 5n du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 5n-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation du carré du binôme

Ce trinôme a la forme d’un trinôme carré, éventuellement multiplié par un facteur commun. Les trinômes carrés peuvent être factorisés en recherchant les racines carrées des termes de début et de fin.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Trouver le facteur commun le plus grand des coefficients.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Trouver la racine carrée du terme de début, 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Trouver la racine carrée du terme de fin, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Le trinôme carré est le carré du binôme correspondant à la somme ou à la différence des racines carrées des termes de début et de fin, le signe étant déterminé par le signe du terme du milieu du trinôme carré.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Calculer le carré de -30.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplier -4 par 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplier -100 par 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Additionner 900 et -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

L’inverse de -30 est 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Multiplier 2 par 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{3}{5} par x_{1} et \frac{3}{5} par x_{2}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Soustraire \frac{3}{5} de n en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Soustraire \frac{3}{5} de n en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Multiplier \frac{5n-3}{5} par \frac{5n-3}{5} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Multiplier 5 par 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 25 dans 25 et 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Évaluer

$$\left(5n-3\right)^{2}$$