Résoudre 25a^2-40a+16

$$25 a ^ { 2 } - 40 a + 16$$

Factoriser

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 25a^{2}+pa+qa+16. Pour rechercher p et q, configurez un système à résoudre.

$$p+q=-40 pq=25\times 16=400$$

Étant donné que pq est positif, p et q ont le même signe. Étant donné que p+q est négatif, p et q sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

La solution est la paire qui donne la somme -40.

$$p=-20 q=-20$$

Réécrire 25a^{2}-40a+16 en tant qu’\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right).

$$\left(25a^{2}-20a\right)+\left(-20a+16\right)$$

Factorisez 5a du premier et -4 dans le deuxième groupe.

$$5a\left(5a-4\right)-4\left(5a-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 5a-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation du carré du binôme

Ce trinôme a la forme d’un trinôme carré, éventuellement multiplié par un facteur commun. Les trinômes carrés peuvent être factorisés en recherchant les racines carrées des termes de début et de fin.

$$factor(25a^{2}-40a+16)$$

Trouver le facteur commun le plus grand des coefficients.

$$gcf(25,-40,16)=1$$

Trouver la racine carrée du terme de début, 25a^{2}.

$$\sqrt{25a^{2}}=5a$$

Trouver la racine carrée du terme de fin, 16.

$$\sqrt{16}=4$$

Le trinôme carré est le carré du binôme correspondant à la somme ou à la différence des racines carrées des termes de début et de fin, le signe étant déterminé par le signe du terme du milieu du trinôme carré.

$$\left(5a-4\right)^{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$25a^{2}-40a+16=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Calculer le carré de -40.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplier -4 par 25.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Multiplier -100 par 16.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Additionner 1600 et -1600.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$a=\frac{-\left(-40\right)±0}{2\times 25}$$

L’inverse de -40 est 40.

$$a=\frac{40±0}{2\times 25}$$

Multiplier 2 par 25.

$$a=\frac{40±0}{50}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{4}{5} par x_{1} et \frac{4}{5} par x_{2}.

$$25a^{2}-40a+16=25\left(a-\frac{4}{5}\right)\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

Soustraire \frac{4}{5} de a en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\left(a-\frac{4}{5}\right)$$

Soustraire \frac{4}{5} de a en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{5a-4}{5}\times \frac{5a-4}{5}$$

Multiplier \frac{5a-4}{5} par \frac{5a-4}{5} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{5\times 5}$$

Multiplier 5 par 5.

$$25a^{2}-40a+16=25\times \frac{\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)}{25}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 25 dans 25 et 25.

$$25a^{2}-40a+16=\left(5a-4\right)\left(5a-4\right)$$

Évaluer

$$\left(5a-4\right)^{2}$$