Résoudre 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Calculer x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx-600. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 10.

$$a=-20 b=30$$

Réécrire x^{2}+10x-600 en tant qu’\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Factorisez x du premier et 30 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Factoriser le facteur commun x-20 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-20=0 et x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 25 à a, 250 à b et -15000 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Calculer le carré de 250.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplier -4 par 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplier -100 par -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Additionner 62500 et 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Extraire la racine carrée de 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Multiplier 2 par 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-250±1250}{50} lorsque ± est positif. Additionner -250 et 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Diviser 1000 par 50.

$$x=20$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-250±1250}{50} lorsque ± est négatif. Soustraire 1250 à -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Diviser -1500 par 50.

$$x=-30$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=20 x=-30$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Ajouter 15000 aux deux côtés de l’équation.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

La soustraction de -15000 de lui-même donne 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Soustraire -15000 à 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Divisez les deux côtés par 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

La division par 25 annule la multiplication par 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Diviser 250 par 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Diviser 15000 par 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Divisez 10, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer 5. Ajouter ensuite le carré de 5 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Calculer le carré de 5.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Additionner 600 et 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Factor x^{2}+10x+25. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Simplifier.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$x=20 x=-30$$