Résoudre 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 8x^{2}+ax+bx-1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 2.

$$a=-2 b=4$$

Réécrire 8x^{2}+2x-1 en tant qu’\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Factoriser 2x dans 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Factoriser le facteur commun 4x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4x-1=0 et 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 24 à a, 6 à b et -3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Calculer le carré de 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Multiplier -4 par 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Multiplier -96 par -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Additionner 36 et 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Extraire la racine carrée de 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Multiplier 2 par 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-6±18}{48} lorsque ± est positif. Additionner -6 et 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Réduire la fraction \frac{12}{48} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-6±18}{48} lorsque ± est négatif. Soustraire 18 à -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Réduire la fraction \frac{-24}{48} au maximum en extrayant et en annulant 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés de l’équation.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

La soustraction de -3 de lui-même donne 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Soustraire -3 à 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Divisez les deux côtés par 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

La division par 24 annule la multiplication par 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Réduire la fraction \frac{6}{24} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Réduire la fraction \frac{3}{24} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Divisez \frac{1}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{8}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Additionner \frac{1}{8} et \frac{1}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Soustraire \frac{1}{8} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$