Résoudre 24x^2-38x+15=0

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Calculer x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 24x^{2}+ax+bx+15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

La solution est la paire qui donne la somme -38.

$$a=-20 b=-18$$

Réécrire 24x^{2}-38x+15 en tant qu’\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right).

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

Factorisez 4x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 6x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 6x-5=0 et 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 24 à a, -38 à b et 15 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Calculer le carré de -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplier -4 par 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplier -96 par 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Additionner 1444 et -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Extraire la racine carrée de 4.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

L’inverse de -38 est 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Multiplier 2 par 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{38±2}{48} lorsque ± est positif. Additionner 38 et 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

Réduire la fraction \frac{40}{48} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{5}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{38±2}{48} lorsque ± est négatif. Soustraire 2 à 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

Réduire la fraction \frac{36}{48} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Soustraire 15 des deux côtés de l’équation.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

La soustraction de 15 de lui-même donne 0.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Divisez les deux côtés par 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

La division par 24 annule la multiplication par 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-38}{24} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-15}{24} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Divisez -\frac{19}{12}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{19}{24}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{19}{24} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{19}{24} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

Additionner -\frac{5}{8} et \frac{361}{576} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Factor x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Ajouter \frac{19}{24} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$