Résoudre 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

Calculer k

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0,75$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 2.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 12k^{2}+ak+bk+12. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

La solution est la paire qui donne la somme 25.

$$a=9 b=16$$

Réécrire 12k^{2}+25k+12 en tant qu’\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

Factorisez 3k du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

Factoriser le facteur commun 4k+3 en utilisant la distributivité.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4k+3=0 et 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 24 à a, 50 à b et 24 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Calculer le carré de 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplier -4 par 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

Multiplier -96 par 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

Additionner 2500 et -2304.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

Extraire la racine carrée de 196.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

Multiplier 2 par 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

Résolvez maintenant l’équation k=\frac{-50±14}{48} lorsque ± est positif. Additionner -50 et 14.

$$k=-\frac{36}{48}$$

Réduire la fraction \frac{-36}{48} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$k=-\frac{3}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation k=\frac{-50±14}{48} lorsque ± est négatif. Soustraire 14 à -50.

$$k=-\frac{64}{48}$$

Réduire la fraction \frac{-64}{48} au maximum en extrayant et en annulant 16.

$$k=-\frac{4}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

Soustraire 24 des deux côtés de l’équation.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

La soustraction de 24 de lui-même donne 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

Divisez les deux côtés par 24.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

La division par 24 annule la multiplication par 24.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

Réduire la fraction \frac{50}{24} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

Diviser -24 par 24.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

Divisez \frac{25}{12}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{25}{24}. Ajouter ensuite le carré de \frac{25}{24} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{25}{24} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

Additionner -1 et \frac{625}{576}.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

Factor k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

Simplifier.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

Soustraire \frac{25}{24} des deux côtés de l’équation.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$