Résoudre 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 20 à a, -28 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Calculer le carré de -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplier -4 par 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplier -80 par -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Additionner 784 et 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Extraire la racine carrée de 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

L’inverse de -28 est 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Multiplier 2 par 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} lorsque ± est positif. Additionner 28 et 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Diviser 28+12\sqrt{6} par 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} lorsque ± est négatif. Soustraire 12\sqrt{6} à 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Diviser 28-12\sqrt{6} par 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Divisez les deux côtés par 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

La division par 20 annule la multiplication par 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Réduire la fraction \frac{-28}{20} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Divisez -\frac{7}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{10}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Additionner \frac{1}{20} et \frac{49}{100} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Ajouter \frac{7}{10} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$