Résoudre 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

Calculer p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 6 des deux côtés.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Soustraire 6 de 16 pour obtenir 10.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 20p^{2}+ap+bp+10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

La solution est la paire qui donne la somme 33.

$$a=8 b=25$$

Réécrire 20p^{2}+33p+10 en tant qu’\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right).

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

Factorisez 4p du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

Factoriser le facteur commun 5p+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5p+2=0 et 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Soustraire 6 des deux côtés de l’équation.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

La soustraction de 6 de lui-même donne 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Soustraire 6 à 16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 20 à a, 33 à b et 10 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Calculer le carré de 33.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Multiplier -4 par 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

Multiplier -80 par 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

Additionner 1089 et -800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Extraire la racine carrée de 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

Multiplier 2 par 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-33±17}{40} lorsque ± est positif. Additionner -33 et 17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{40} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-33±17}{40} lorsque ± est négatif. Soustraire 17 à -33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

Réduire la fraction \frac{-50}{40} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$p=-\frac{5}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Soustraire 16 des deux côtés de l’équation.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

La soustraction de 16 de lui-même donne 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

Soustraire 16 à 6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Divisez les deux côtés par 20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

La division par 20 annule la multiplication par 20.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{20} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

Divisez \frac{33}{20}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{33}{40}. Ajouter ensuite le carré de \frac{33}{40} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{33}{40} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

Additionner -\frac{1}{2} et \frac{1089}{1600} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Factor p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Simplifier.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

Soustraire \frac{33}{40} des deux côtés de l’équation.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$