Résoudre 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 20x^{2}+ax+bx-1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-5 b=4$$

Réécrire 20x^{2}-x-1 en tant qu’\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Factoriser 5x dans 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Factoriser le facteur commun 4x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4x-1=0 et 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 20 à a, -1 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplier -4 par 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplier -80 par -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Additionner 1 et 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Extraire la racine carrée de 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Multiplier 2 par 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±9}{40} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Réduire la fraction \frac{10}{40} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±9}{40} lorsque ± est négatif. Soustraire 9 à 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{40} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Divisez les deux côtés par 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

La division par 20 annule la multiplication par 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Divisez -\frac{1}{20}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{40}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{40} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{40} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Additionner \frac{1}{20} et \frac{1}{1600} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Ajouter \frac{1}{40} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$