Résoudre 2z^2-2z+5=0

$$2 z ^ { 2 } - 2 z + 5 = 0$$

Calculer z

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i=0,5+1,5i$$

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i=0,5-1,5i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -2 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de -2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 5.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-40}}{2\times 2}$$

Additionner 4 et -40.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-36}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de -36.

$$z=\frac{-\left(-2\right)±6i}{2\times 2}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$z=\frac{2±6i}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$z=\frac{2±6i}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{2±6i}{4} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 6i.

$$z=\frac{2+6i}{4}$$

Diviser 2+6i par 4.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i$$

Résolvez maintenant l’équation z=\frac{2±6i}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 6i à 2.

$$z=\frac{2-6i}{4}$$

Diviser 2-6i par 4.

$$z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

L’équation est désormais résolue.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-2z+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$2z^{2}-2z+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$2z^{2}-2z=-5$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2z^{2}-2z}{2}=-\frac{5}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$z^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)z=-\frac{5}{2}$$

Diviser -2 par 2.

$$z^{2}-z=-\frac{5}{2}$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{4}$$

Additionner -\frac{5}{2} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Factor z^{2}-z+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{9}{4}}$$

Simplifier.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}i z-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}i$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$z=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i z=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i$$