Résoudre 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-6 b=5$$

Réécrire 2x^{2}-x-15 en tant qu’\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et 2x+5=0.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -1 à b et -15 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Additionner 1 et 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±11}{4} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

Diviser 12 par 4.

$$x=3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±11}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Ajouter 15 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

La soustraction de -15 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

Soustraire -15 à 0.

$$2x^{2}-x=15$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Divisez -\frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Additionner \frac{15}{2} et \frac{1}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Ajouter \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$