Résoudre 2x^2-5x+2xsqrt{x^2-5x+6}=3

$$2 x ^ { 2 } - 5 x + 2 x \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x + 6 } = 3$$

Calculer x

$$x=3$$

Étapes de la solution

Soustraire 2x^{2}-5x des deux côtés de l’équation.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-\left(2x^{2}-5x\right)$$

Pour trouver l’opposé de 2x^{2}-5x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3-2x^{2}+5x$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Étendre \left(2x\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4x^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x+6}\right)^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x^{2}-5x+6} à la puissance 2 et obtenir x^{2}-5x+6.

$$4x^{2}\left(x^{2}-5x+6\right)=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4x^{2} par x^{2}-5x+6.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=\left(3-2x^{2}+5x\right)^{2}$$

Calculer le carré de 3-2x^{2}+5x.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}=4x^{4}-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Soustraire 4x^{4} des deux côtés.

$$4x^{4}-20x^{3}+24x^{2}-4x^{4}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Combiner 4x^{4} et -4x^{4} pour obtenir 0.

$$-20x^{3}+24x^{2}=-20x^{3}+13x^{2}+30x+9$$

Ajouter 20x^{3} aux deux côtés.

$$-20x^{3}+24x^{2}+20x^{3}=13x^{2}+30x+9$$

Combiner -20x^{3} et 20x^{3} pour obtenir 0.

$$24x^{2}=13x^{2}+30x+9$$

Soustraire 13x^{2} des deux côtés.

$$24x^{2}-13x^{2}=30x+9$$

Combiner 24x^{2} et -13x^{2} pour obtenir 11x^{2}.

$$11x^{2}=30x+9$$

Soustraire 30x des deux côtés.

$$11x^{2}-30x=9$$

Soustraire 9 des deux côtés.

$$11x^{2}-30x-9=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 11x^{2}+ax+bx-9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-30 ab=11\left(-9\right)=-99$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -99.

$$1,-99 3,-33 9,-11$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-99=-98 3-33=-30 9-11=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -30.

$$a=-33 b=3$$

Réécrire 11x^{2}-30x-9 en tant qu’\left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right).

$$\left(11x^{2}-33x\right)+\left(3x-9\right)$$

Factorisez 11x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$11x\left(x-3\right)+3\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(11x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et 11x+3=0.

$$x=3 x=-\frac{3}{11}$$

Remplacez x par 3 dans l’équation 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3.

$$2\times 3^{2}-5\times 3+2\times 3\sqrt{3^{2}-5\times 3+6}=3$$

Simplifier. La valeur x=3 satisfait à l’équation.

$$3=3$$

Remplacez x par -\frac{3}{11} dans l’équation 2x^{2}-5x+2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3.

$$2\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+2\left(-\frac{3}{11}\right)\sqrt{\left(-\frac{3}{11}\right)^{2}-5\left(-\frac{3}{11}\right)+6}=3$$

Simplifier. La valeur x=-\frac{3}{11} ne satisfait pas l’équation.

$$\frac{3}{121}=3$$

L’équation 2x\sqrt{x^{2}-5x+6}=3+5x-2x^{2} a une solution unique.

$$x=3$$