Résoudre 2x^2-4x+1<0

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 < 0$$

Calculer x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-4x+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 2 pour a, -4 pour b et 1 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Résoudre l’équation x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)<0$$

Pour que le produit soit négatif, x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) et x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) doivent être des signes opposés. Considérer le cas lorsque x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) est positif et x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) négatif.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Considérer le cas lorsque x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) est positif et x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) négatif.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$