Résoudre 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -2 à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Additionner 4 et 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

L’inverse de -2 est 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} lorsque ± est positif. Additionner 2 et 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Diviser 2+2\sqrt{3} par 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 2\sqrt{3} à 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Diviser 2-2\sqrt{3} par 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Diviser -2 par 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Additionner \frac{1}{2} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$