Résoudre 2x^2+85x-225=0

$$2 x ^ { 2 } + 85 x - 225 = 0$$

Calculer x

$$x=-45$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-225. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=85 ab=2\left(-225\right)=-450$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -450.

$$-1,450 -2,225 -3,150 -5,90 -6,75 -9,50 -10,45 -15,30 -18,25$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+450=449 -2+225=223 -3+150=147 -5+90=85 -6+75=69 -9+50=41 -10+45=35 -15+30=15 -18+25=7$$

La solution est la paire qui donne la somme 85.

$$a=-5 b=90$$

Réécrire 2x^{2}+85x-225 en tant qu’\left(2x^{2}-5x\right)+\left(90x-225\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(90x-225\right)$$

Factorisez x du premier et 45 dans le deuxième groupe.

$$x\left(2x-5\right)+45\left(2x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-5\right)\left(x+45\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-5=0 et x+45=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-45$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+85x-225=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 85 à b et -225 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-85±\sqrt{85^{2}-4\times 2\left(-225\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 85.

$$x=\frac{-85±\sqrt{7225-4\times 2\left(-225\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-85±\sqrt{7225-8\left(-225\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -225.

$$x=\frac{-85±\sqrt{7225+1800}}{2\times 2}$$

Additionner 7225 et 1800.

$$x=\frac{-85±\sqrt{9025}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 9025.

$$x=\frac{-85±95}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-85±95}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-85±95}{4} lorsque ± est positif. Additionner -85 et 95.

$$x=\frac{10}{4}$$

Réduire la fraction \frac{10}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-85±95}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 95 à -85.

$$x=-\frac{180}{4}$$

Diviser -180 par 4.

$$x=-45$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{2} x=-45$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+85x-225=0$$

Ajouter 225 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+85x-225-\left(-225\right)=-\left(-225\right)$$

La soustraction de -225 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+85x=-\left(-225\right)$$

Soustraire -225 à 0.

$$2x^{2}+85x=225$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+85x}{2}=\frac{225}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{85}{2}x=\frac{225}{2}$$

Divisez \frac{85}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{85}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{85}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{85}{2}x+\left(\frac{85}{4}\right)^{2}=\frac{225}{2}+\left(\frac{85}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{85}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{85}{2}x+\frac{7225}{16}=\frac{225}{2}+\frac{7225}{16}$$

Additionner \frac{225}{2} et \frac{7225}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{85}{2}x+\frac{7225}{16}=\frac{9025}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{85}{2}x+\frac{7225}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{85}{4}\right)^{2}=\frac{9025}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{85}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9025}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{85}{4}=\frac{95}{4} x+\frac{85}{4}=-\frac{95}{4}$$

Soustraire \frac{85}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{2} x=-45$$