Résoudre 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Calculer x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=-1 b=8$$

Réécrire 2x^{2}+7x-4 en tant qu’\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Factorisez x du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-1=0 et x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 7 à b et -4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

Additionner 49 et 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±9}{4} lorsque ± est positif. Additionner -7 et 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Réduire la fraction \frac{2}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±9}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 9 à -7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Diviser -16 par 4.

$$x=-4$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

La soustraction de -4 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Soustraire -4 à 0.

$$2x^{2}+7x=4$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

Diviser 4 par 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

DiVisez \frac{7}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir \frac{7}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{4} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Additionner 2 et \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Factoriser x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Soustraire \frac{7}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$