Résoudre 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Calculer x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-15. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=-3 b=10$$

Réécrire 2x^{2}+7x-15 en tant qu’\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Factorisez x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-3=0 et x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 7 à b et -15 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Additionner 49 et 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±13}{4} lorsque ± est positif. Additionner -7 et 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Réduire la fraction \frac{6}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±13}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Diviser -20 par 4.

$$x=-5$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Ajouter 15 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

La soustraction de -15 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Soustraire -15 à 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Divisez \frac{7}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Additionner \frac{15}{2} et \frac{49}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Soustraire \frac{7}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$