Résoudre 2x^2+5x-18=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 18 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-18. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=5 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

La solution est la paire qui donne la somme 5.

$$a=-4 b=9$$

Réécrire 2x^{2}+5x-18 en tant qu’\left(2x^{2}-4x\right)+\left(9x-18\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(9x-18\right)$$

Factorisez 2x du premier et 9 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x-2\right)+9\left(x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-2\right)\left(2x+9\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-2=0 et 2x+9=0.

$$x=2 x=-\frac{9}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+5x-18=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 5 à b et -18 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-18\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -18.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 2}$$

Additionner 25 et 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-5±13}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±13}{4} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 13.

$$x=\frac{8}{4}$$

Diviser 8 par 4.

$$x=2$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±13}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à -5.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-18}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=2 x=-\frac{9}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-18=0$$

Ajouter 18 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+5x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

La soustraction de -18 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-18\right)$$

Soustraire -18 à 0.

$$2x^{2}+5x=18$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{18}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{18}{2}$$

Diviser 18 par 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=9$$

Divisez \frac{5}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=9+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=9+\frac{25}{16}$$

Additionner 9 et \frac{25}{16}.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{169}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{13}{4}$$

Soustraire \frac{5}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=2 x=-\frac{9}{2}$$