Résoudre 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-90. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 3.

$$a=-12 b=15$$

Réécrire 2x^{2}+3x-90 en tant qu’\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Factorisez 2x du premier et 15 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Factoriser le facteur commun x-6 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-6=0 et 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 3 à b et -90 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Additionner 9 et 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±27}{4} lorsque ± est positif. Additionner -3 et 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Diviser 24 par 4.

$$x=6$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±27}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 27 à -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Ajouter 90 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

La soustraction de -90 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Soustraire -90 à 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Diviser 90 par 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Divisez \frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Additionner 45 et \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Soustraire \frac{3}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$