Résoudre 2x^2+3x-20=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 20 = 0$$

Calculer x

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-20. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -40.

$$-1,40 -2,20 -4,10 -5,8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+40=39 -2+20=18 -4+10=6 -5+8=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 3.

$$a=-5 b=8$$

Réécrire 2x^{2}+3x-20 en tant qu’\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(8x-20\right)$$

Factorisez x du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$x\left(2x-5\right)+4\left(2x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-5\right)\left(x+4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-5=0 et x+4=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 3 à b et -20 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-20\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+160}}{2\times 2}$$

Additionner 9 et 160.

$$x=\frac{-3±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$x=\frac{-3±13}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-3±13}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±13}{4} lorsque ± est positif. Additionner -3 et 13.

$$x=\frac{10}{4}$$

Réduire la fraction \frac{10}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±13}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à -3.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Diviser -16 par 4.

$$x=-4$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-20=0$$

Ajouter 20 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+3x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

La soustraction de -20 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-20\right)$$

Soustraire -20 à 0.

$$2x^{2}+3x=20$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{20}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{20}{2}$$

Diviser 20 par 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=10$$

Divisez \frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Additionner 10 et \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Soustraire \frac{3}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{2} x=-4$$