Résoudre 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 2 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Additionner 4 et -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±2i}{4} lorsque ± est positif. Additionner -2 et 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Diviser -2+2i par 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±2i}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i à -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Diviser -2-2i par 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Diviser 2 par 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Additionner -\frac{1}{2} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$