Résoudre 2x^2+17x-9=0

$$2 x ^ { 2 } + 17 x - 9 = 0$$

Calculer x

$$x=-9$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=17 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 17.

$$a=-1 b=18$$

Réécrire 2x^{2}+17x-9 en tant qu’\left(2x^{2}-x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(18x-9\right)$$

Factorisez x du premier et 9 dans le deuxième groupe.

$$x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-1\right)\left(x+9\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-1=0 et x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-9$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+17x-9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 17 à b et -9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 17.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -9.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+72}}{2\times 2}$$

Additionner 289 et 72.

$$x=\frac{-17±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 361.

$$x=\frac{-17±19}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-17±19}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±19}{4} lorsque ± est positif. Additionner -17 et 19.

$$x=\frac{2}{4}$$

Réduire la fraction \frac{2}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-17±19}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 19 à -17.

$$x=-\frac{36}{4}$$

Diviser -36 par 4.

$$x=-9$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{2} x=-9$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+17x-9=0$$

Ajouter 9 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+17x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

La soustraction de -9 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+17x=-\left(-9\right)$$

Soustraire -9 à 0.

$$2x^{2}+17x=9$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+17x}{2}=\frac{9}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x=\frac{9}{2}$$

Divisez \frac{17}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{17}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{17}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(\frac{17}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{17}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{9}{2}+\frac{289}{16}$$

Additionner \frac{9}{2} et \frac{289}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}=\frac{361}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{17}{2}x+\frac{289}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{17}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{17}{4}=-\frac{19}{4}$$

Soustraire \frac{17}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{2} x=-9$$