Résoudre 2t^2-9t+9=0

$$2 t ^ { 2 } - 9 t + 9 = 0$$

Calculer t

$$t = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$t=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2t^{2}+at+bt+9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-9 ab=2\times 9=18$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 18.

$$-1,-18 -2,-9 -3,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-18=-19 -2-9=-11 -3-6=-9$$

La solution est la paire qui donne la somme -9.

$$a=-6 b=-3$$

Réécrire 2t^{2}-9t+9 en tant qu’\left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(-3t+9\right)$$

Factorisez 2t du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$2t\left(t-3\right)-3\left(t-3\right)$$

Factoriser le facteur commun t-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(t-3\right)\left(2t-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez t-3=0 et 2t-3=0.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -9 à b et 9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de -9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\times 9}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72}}{2\times 2}$$

Additionner 81 et -72.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±3}{2\times 2}$$

L’inverse de -9 est 9.

$$t=\frac{9±3}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$t=\frac{9±3}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{9±3}{4} lorsque ± est positif. Additionner 9 et 3.

$$t=\frac{12}{4}$$

Diviser 12 par 4.

$$t=3$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{9±3}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 3 à 9.

$$t=\frac{6}{4}$$

Réduire la fraction \frac{6}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$t=\frac{3}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-9t+9=0$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$2t^{2}-9t+9-9=-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$2t^{2}-9t=-9$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2t^{2}-9t}{2}=-\frac{9}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t=-\frac{9}{2}$$

Divisez -\frac{9}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{9}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{9}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{9}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=-\frac{9}{2}+\frac{81}{16}$$

Additionner -\frac{9}{2} et \frac{81}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor t^{2}-\frac{9}{2}t+\frac{81}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifier.

$$t-\frac{9}{4}=\frac{3}{4} t-\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Ajouter \frac{9}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$t=3 t=\frac{3}{2}$$