Résoudre 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Calculer r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2r^{2}+ar+br+2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 4.

$$1,4 2,2$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+4=5 2+2=4$$

La solution est la paire qui donne la somme 5.

$$a=1 b=4$$

Réécrire 2r^{2}+5r+2 en tant qu’\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

Factorisez r du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2r+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2r+1=0 et r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 5 à b et 2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 5.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Additionner 25 et -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{-5±3}{4} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{-5±3}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 3 à -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Diviser -8 par 4.

$$r=-2$$

L’équation est désormais résolue.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

La soustraction de 2 de lui-même donne 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Diviser -2 par 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Divisez \frac{5}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Additionner -1 et \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifier.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Soustraire \frac{5}{4} des deux côtés de l’équation.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$