Résoudre 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Calculer k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Ajouter 7 aux deux côtés.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2k^{2}+ak+bk+7. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 14.

$$1,14 2,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+14=15 2+7=9$$

La solution est la paire qui donne la somme 9.

$$a=2 b=7$$

Réécrire 2k^{2}+9k+7 en tant qu’\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Factorisez 2k du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Factoriser le facteur commun k+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez k+1=0 et 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Ajouter 7 aux deux côtés de l’équation.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

La soustraction de -7 de lui-même donne 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Soustraire -7 à 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 9 à b et 7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Additionner 81 et -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation k=\frac{-9±5}{4} lorsque ± est positif. Additionner -9 et 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Diviser -4 par 4.

$$k=-1$$

Résolvez maintenant l’équation k=\frac{-9±5}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 5 à -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-14}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$k=-\frac{7}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Divisez \frac{9}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{9}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{9}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{9}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Additionner -\frac{7}{2} et \frac{81}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Factor k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplifier.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Soustraire \frac{9}{4} des deux côtés de l’équation.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$