Résoudre 2d^2+11d+5=0

$$2 d ^ { 2 } + 11 d + 5 = 0$$

Calculer d

$$d=-5$$

$$d=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2d^{2}+ad+bd+5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=11 ab=2\times 5=10$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 10.

$$1,10 2,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+10=11 2+5=7$$

La solution est la paire qui donne la somme 11.

$$a=1 b=10$$

Réécrire 2d^{2}+11d+5 en tant qu’\left(2d^{2}+d\right)+\left(10d+5\right).

$$\left(2d^{2}+d\right)+\left(10d+5\right)$$

Factorisez d du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$d\left(2d+1\right)+5\left(2d+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2d+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2d+1\right)\left(d+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2d+1=0 et d+5=0.

$$d=-\frac{1}{2} d=-5$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2d^{2}+11d+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 11 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$d=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 11.

$$d=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$d=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 5.

$$d=\frac{-11±\sqrt{121-40}}{2\times 2}$$

Additionner 121 et -40.

$$d=\frac{-11±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 81.

$$d=\frac{-11±9}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$d=\frac{-11±9}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation d=\frac{-11±9}{4} lorsque ± est positif. Additionner -11 et 9.

$$d=-\frac{2}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-2}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$d=-\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation d=\frac{-11±9}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 9 à -11.

$$d=-\frac{20}{4}$$

Diviser -20 par 4.

$$d=-5$$

L’équation est désormais résolue.

$$d=-\frac{1}{2} d=-5$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2d^{2}+11d+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$2d^{2}+11d+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$2d^{2}+11d=-5$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2d^{2}+11d}{2}=-\frac{5}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$d^{2}+\frac{11}{2}d=-\frac{5}{2}$$

Divisez \frac{11}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{11}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{11}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$d^{2}+\frac{11}{2}d+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{11}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$d^{2}+\frac{11}{2}d+\frac{121}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{121}{16}$$

Additionner -\frac{5}{2} et \frac{121}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$d^{2}+\frac{11}{2}d+\frac{121}{16}=\frac{81}{16}$$

Factor d^{2}+\frac{11}{2}d+\frac{121}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(d+\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(d+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Simplifier.

$$d+\frac{11}{4}=\frac{9}{4} d+\frac{11}{4}=-\frac{9}{4}$$

Soustraire \frac{11}{4} des deux côtés de l’équation.

$$d=-\frac{1}{2} d=-5$$