Résoudre 2x^2-5x+17=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1,25+2,633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1,25-2,633913438i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -5 à b et 17 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

Additionner 25 et -136.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de -111.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} lorsque ± est positif. Additionner 5 et i\sqrt{111}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{111} à 5.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Soustraire 17 des deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

La soustraction de 17 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}-5x=-17$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

Divisez -\frac{5}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Additionner -\frac{17}{2} et \frac{25}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

Ajouter \frac{5}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$