Résoudre 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-40. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -11.

$$a=-16 b=5$$

Réécrire 2x^{2}-11x-40 en tant qu’\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Factoriser le facteur commun x-8 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-8=0 et 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -11 à b et -40 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Additionner 121 et 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

L’inverse de -11 est 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{11±21}{4} lorsque ± est positif. Additionner 11 et 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Diviser 32 par 4.

$$x=8$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{11±21}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 21 à 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Ajouter 40 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

La soustraction de -40 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Soustraire -40 à 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Diviser 40 par 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

DiVisez -\frac{11}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir -\frac{11}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{11}{4} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{11}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Additionner 20 et \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Factoriser x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Ajouter \frac{11}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$