Résoudre 2x^2+x-6=30

$$2 { x }^{ 2 } +x-6=30$$

Calculer x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$x=4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 30 des deux côtés.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Soustraire 30 de -6 pour obtenir -36.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-36. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=-8 b=9$$

Réécrire 2x^{2}+x-36 en tant qu’\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(9x-36\right)$$

Factorisez 2x du premier et 9 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x-4\right)+9\left(x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-4\right)\left(2x+9\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-4=0 et 2x+9=0.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Soustraire 30 des deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+x-6-30=30-30$$

La soustraction de 30 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+x-6-30=0$$

Soustraire 30 à -6.

$$2x^{2}+x-36=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 1 à b et -36 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -36.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

Additionner 1 et 288.

$$x=\frac{-1±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 289.

$$x=\frac{-1±17}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-1±17}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±17}{4} lorsque ± est positif. Additionner -1 et 17.

$$x=\frac{16}{4}$$

Diviser 16 par 4.

$$x=4$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±17}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 17 à -1.

$$x=-\frac{18}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-18}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{9}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-6=30$$

Ajouter 6 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+x-6-\left(-6\right)=30-\left(-6\right)$$

La soustraction de -6 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+x=30-\left(-6\right)$$

Soustraire -6 à 30.

$$2x^{2}+x=36$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{36}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

Diviser 36 par 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=18$$

Divisez \frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Additionner 18 et \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Soustraire \frac{1}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=4 x=-\frac{9}{2}$$