Résoudre 2x^2+7x+5=0

$$2 { x }^{ 2 } +7x+5 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx+5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 10.

$$1,10 2,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+10=11 2+5=7$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=2 b=5$$

Réécrire 2x^{2}+7x+5 en tant qu’\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Factorisez 2x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x+1=0 et 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 7 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Additionner 49 et -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±3}{4} lorsque ± est positif. Additionner -7 et 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Diviser -4 par 4.

$$x=-1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-7±3}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 3 à -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Divisez \frac{7}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Additionner -\frac{5}{2} et \frac{49}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Soustraire \frac{7}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$