Résoudre 2x^2+3x-14=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x-14=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-14. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=3 ab=2\left(-14\right)=-28$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 3.

$$a=-4 b=7$$

Réécrire 2x^{2}+3x-14 en tant qu’\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(7x-14\right)$$

Factorisez 2x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$2x\left(x-2\right)+7\left(x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-2\right)\left(2x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-2=0 et 2x+7=0.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 3 à b et -14 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 2}$$

Additionner 9 et 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-3±11}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±11}{4} lorsque ± est positif. Additionner -3 et 11.

$$x=\frac{8}{4}$$

Diviser 8 par 4.

$$x=2$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-3±11}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à -3.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Réduire la fraction \frac{-14}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{7}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-14=0$$

Ajouter 14 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+3x-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

La soustraction de -14 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-14\right)$$

Soustraire -14 à 0.

$$2x^{2}+3x=14$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{14}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{14}{2}$$

Diviser 14 par 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=7$$

Divisez \frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Additionner 7 et \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Soustraire \frac{3}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=2 x=-\frac{7}{2}$$