Résoudre 2x^2+13x-24=0

$$2 { x }^{ 2 } +13x-24=0$$

Calculer x

$$x=-8$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-24. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=13 ab=2\left(-24\right)=-48$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 13.

$$a=-3 b=16$$

Réécrire 2x^{2}+13x-24 en tant qu’\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(16x-24\right)$$

Factorisez x du premier et 8 dans le deuxième groupe.

$$x\left(2x-3\right)+8\left(2x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-3\right)\left(x+8\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-3=0 et x+8=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 13 à b et -24 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 2\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-8\left(-24\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\times 2}$$

Additionner 169 et 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-13±19}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-13±19}{4} lorsque ± est positif. Additionner -13 et 19.

$$x=\frac{6}{4}$$

Réduire la fraction \frac{6}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-13±19}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 19 à -13.

$$x=-\frac{32}{4}$$

Diviser -32 par 4.

$$x=-8$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+13x-24=0$$

Ajouter 24 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+13x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

La soustraction de -24 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+13x=-\left(-24\right)$$

Soustraire -24 à 0.

$$2x^{2}+13x=24$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+13x}{2}=\frac{24}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=\frac{24}{2}$$

Diviser 24 par 2.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x=12$$

Divisez \frac{13}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{13}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{13}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{13}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Additionner 12 et \frac{169}{16}.

$$x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x+\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Soustraire \frac{13}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3}{2} x=-8$$