Résoudre 19x^2-14x+4122=0

$$19 x ^ { 2 } - 14 x + 4122 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}\approx 0,368421053+14,724524928i$$

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}\approx 0,368421053-14,724524928i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 19 à a, -14 à b et 4122 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

Calculer le carré de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 19\times 4122}}{2\times 19}$$

Multiplier -4 par 19.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-76\times 4122}}{2\times 19}$$

Multiplier -76 par 4122.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-313272}}{2\times 19}$$

Additionner 196 et -313272.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-313076}}{2\times 19}$$

Extraire la racine carrée de -313076.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

L’inverse de -14 est 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{2\times 19}$$

Multiplier 2 par 19.

$$x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38} lorsque ± est positif. Additionner 14 et 2i\sqrt{78269}.

$$x=\frac{14+2\sqrt{78269}i}{38}$$

Diviser 14+2i\sqrt{78269} par 38.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±2\sqrt{78269}i}{38} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{78269} à 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{78269}i+14}{38}$$

Diviser 14-2i\sqrt{78269} par 38.

$$x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$19x^{2}-14x+4122=0$$

Soustraire 4122 des deux côtés de l’équation.

$$19x^{2}-14x+4122-4122=-4122$$

La soustraction de 4122 de lui-même donne 0.

$$19x^{2}-14x=-4122$$

Divisez les deux côtés par 19.

$$\frac{19x^{2}-14x}{19}=-\frac{4122}{19}$$

La division par 19 annule la multiplication par 19.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x=-\frac{4122}{19}$$

Divisez -\frac{14}{19}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{19}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{19} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{4122}{19}+\left(-\frac{7}{19}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{19} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{4122}{19}+\frac{49}{361}$$

Additionner -\frac{4122}{19} et \frac{49}{361} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}=-\frac{78269}{361}$$

Factor x^{2}-\frac{14}{19}x+\frac{49}{361}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}=-\frac{78269}{361}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{19}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{78269}{361}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{7}{19}=\frac{\sqrt{78269}i}{19} x-\frac{7}{19}=-\frac{\sqrt{78269}i}{19}$$

Ajouter \frac{7}{19} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{7+\sqrt{78269}i}{19} x=\frac{-\sqrt{78269}i+7}{19}$$