Résoudre 18x^2-30x+11=0

$$18 x ^ { 2 } - 30 x + 11 = 0$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 5}{6} \approx 1,122008468$$

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}\approx 0,544658199$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 18 à a, -30 à b et 11 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Calculer le carré de -30.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Multiplier -4 par 18.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-72\times 11}}{2\times 18}$$

Multiplier -72 par 11.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-792}}{2\times 18}$$

Additionner 900 et -792.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{108}}{2\times 18}$$

Extraire la racine carrée de 108.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

L’inverse de -30 est 30.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Multiplier 2 par 18.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} lorsque ± est positif. Additionner 30 et 6\sqrt{3}.

$$x=\frac{6\sqrt{3}+30}{36}$$

Diviser 30+6\sqrt{3} par 36.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} lorsque ± est négatif. Soustraire 6\sqrt{3} à 30.

$$x=\frac{30-6\sqrt{3}}{36}$$

Diviser 30-6\sqrt{3} par 36.

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Soustraire 11 des deux côtés de l’équation.

$$18x^{2}-30x+11-11=-11$$

La soustraction de 11 de lui-même donne 0.

$$18x^{2}-30x=-11$$

Divisez les deux côtés par 18.

$$\frac{18x^{2}-30x}{18}=-\frac{11}{18}$$

La division par 18 annule la multiplication par 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{18}\right)x=-\frac{11}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-30}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{11}{18}$$

Divisez -\frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{18}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{11}{18}+\frac{25}{36}$$

Additionner -\frac{11}{18} et \frac{25}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{12}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{12}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{12}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Ajouter \frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$