Résoudre 18t^2-9t-5

$$18 t ^ { 2 } - 9 t - 5$$

Factoriser

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 18t^{2}+at+bt-5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -9.

$$a=-15 b=6$$

Réécrire 18t^{2}-9t-5 en tant qu’\left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right).

$$\left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right)$$

Factoriser 3t dans 18t^{2}-15t.

$$3t\left(6t-5\right)+6t-5$$

Factoriser le facteur commun 6t-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$18t^{2}-9t-5=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Calculer le carré de -9.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplier -4 par 18.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplier -72 par -5.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Additionner 81 et 360.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Extraire la racine carrée de 441.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

L’inverse de -9 est 9.

$$t=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Multiplier 2 par 18.

$$t=\frac{9±21}{36}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{9±21}{36} lorsque ± est positif. Additionner 9 et 21.

$$t=\frac{30}{36}$$

Réduire la fraction \frac{30}{36} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$t=\frac{5}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{9±21}{36} lorsque ± est négatif. Soustraire 21 à 9.

$$t=-\frac{12}{36}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{36} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{5}{6} par x_{1} et -\frac{1}{3} par x_{2}.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Soustraire \frac{5}{6} de t en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Additionner \frac{1}{3} et t en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\times \frac{3t+1}{3}$$

Multiplier \frac{6t-5}{6} par \frac{3t+1}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{6\times 3}$$

Multiplier 6 par 3.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{18}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 18 dans 18 et 18.

$$18t^{2}-9t-5=\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Évaluer

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$