Résoudre 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 18x^{2}+ax+bx-5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -9.

$$a=-15 b=6$$

Réécrire 18x^{2}-9x-5 en tant qu’\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Factoriser 3x dans 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Factoriser le facteur commun 6x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 6x-5=0 et 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 18 à a, -9 à b et -5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Calculer le carré de -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplier -4 par 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Multiplier -72 par -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Additionner 81 et 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Extraire la racine carrée de 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

L’inverse de -9 est 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Multiplier 2 par 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{9±21}{36} lorsque ± est positif. Additionner 9 et 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Réduire la fraction \frac{30}{36} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{5}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{9±21}{36} lorsque ± est négatif. Soustraire 21 à 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{36} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$x=-\frac{1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Ajouter 5 aux deux côtés de l’équation.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

La soustraction de -5 de lui-même donne 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Soustraire -5 à 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Divisez les deux côtés par 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

La division par 18 annule la multiplication par 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-9}{18} au maximum en extrayant et en annulant 9.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Divisez -\frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Additionner \frac{5}{18} et \frac{1}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Ajouter \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$