Résoudre 18x^2-27x+4=0

$$18 { x }^{ 2 } -27x+4=0$$

Calculer x

$$x=\frac{1}{6}\approx 0,166666667$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 18x^{2}+ax+bx+4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-27 ab=18\times 4=72$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 72.

$$-1,-72 -2,-36 -3,-24 -4,-18 -6,-12 -8,-9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-72=-73 -2-36=-38 -3-24=-27 -4-18=-22 -6-12=-18 -8-9=-17$$

La solution est la paire qui donne la somme -27.

$$a=-24 b=-3$$

Réécrire 18x^{2}-27x+4 en tant qu’\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Factorisez 6x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$6x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-4=0 et 6x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 18 à a, -27 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Calculer le carré de -27.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 18\times 4}}{2\times 18}$$

Multiplier -4 par 18.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-72\times 4}}{2\times 18}$$

Multiplier -72 par 4.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-288}}{2\times 18}$$

Additionner 729 et -288.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Extraire la racine carrée de 441.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±21}{2\times 18}$$

L’inverse de -27 est 27.

$$x=\frac{27±21}{2\times 18}$$

Multiplier 2 par 18.

$$x=\frac{27±21}{36}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{27±21}{36} lorsque ± est positif. Additionner 27 et 21.

$$x=\frac{48}{36}$$

Réduire la fraction \frac{48}{36} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$x=\frac{4}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{27±21}{36} lorsque ± est négatif. Soustraire 21 à 27.

$$x=\frac{6}{36}$$

Réduire la fraction \frac{6}{36} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{1}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-27x+4=0$$

Soustraire 4 des deux côtés de l’équation.

$$18x^{2}-27x+4-4=-4$$

La soustraction de 4 de lui-même donne 0.

$$18x^{2}-27x=-4$$

Divisez les deux côtés par 18.

$$\frac{18x^{2}-27x}{18}=-\frac{4}{18}$$

La division par 18 annule la multiplication par 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{18}\right)x=-\frac{4}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-27}{18} au maximum en extrayant et en annulant 9.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{18} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{2}{9}$$

Divisez -\frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{2}{9}+\frac{9}{16}$$

Additionner -\frac{2}{9} et \frac{9}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{12}$$

Ajouter \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{1}{6}$$