Résoudre 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 16 à a, -64 à b et 65 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Calculer le carré de -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Multiplier -4 par 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Multiplier -64 par 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Additionner 4096 et -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Extraire la racine carrée de -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

L’inverse de -64 est 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Multiplier 2 par 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{64±8i}{32} lorsque ± est positif. Additionner 64 et 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Diviser 64+8i par 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{64±8i}{32} lorsque ± est négatif. Soustraire 8i à 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Diviser 64-8i par 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Soustraire 65 des deux côtés de l’équation.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

La soustraction de 65 de lui-même donne 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Divisez les deux côtés par 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

La division par 16 annule la multiplication par 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Diviser -64 par 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Divisez -4, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -2. Ajouter ensuite le carré de -2 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Calculer le carré de -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Additionner -\frac{65}{16} et 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Factor x^{2}-4x+4. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Simplifier.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Ajouter 2 aux deux côtés de l’équation.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$