Résoudre 16x^2-16x+5=0

$$16 x ^ { 2 } - 16 x + 5 = 0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}i=0,5+0,25i$$

$$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i=0,5-0,25i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$16x^{2}-16x+5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 16 à a, -16 à b et 5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 16\times 5}}{2\times 16}$$

Calculer le carré de -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 16\times 5}}{2\times 16}$$

Multiplier -4 par 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-64\times 5}}{2\times 16}$$

Multiplier -64 par 5.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-320}}{2\times 16}$$

Additionner 256 et -320.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Extraire la racine carrée de -64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8i}{2\times 16}$$

L’inverse de -16 est 16.

$$x=\frac{16±8i}{2\times 16}$$

Multiplier 2 par 16.

$$x=\frac{16±8i}{32}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{16±8i}{32} lorsque ± est positif. Additionner 16 et 8i.

$$x=\frac{16+8i}{32}$$

Diviser 16+8i par 32.

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}i$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{16±8i}{32} lorsque ± est négatif. Soustraire 8i à 16.

$$x=\frac{16-8i}{32}$$

Diviser 16-8i par 32.

$$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}i x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-16x+5=0$$

Soustraire 5 des deux côtés de l’équation.

$$16x^{2}-16x+5-5=-5$$

La soustraction de 5 de lui-même donne 0.

$$16x^{2}-16x=-5$$

Divisez les deux côtés par 16.

$$\frac{16x^{2}-16x}{16}=-\frac{5}{16}$$

La division par 16 annule la multiplication par 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{16}{16}\right)x=-\frac{5}{16}$$

Diviser -16 par 16.

$$x^{2}-x=-\frac{5}{16}$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{16}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{16}+\frac{1}{4}$$

Additionner -\frac{5}{16} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{16}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}i x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}i$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}i x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}i$$