Résoudre 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 16x^{2}+ax+bx-9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

La solution est la paire qui donne la somme 10.

$$a=-8 b=18$$

Réécrire 16x^{2}+10x-9 en tant qu’\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

Factorisez 8x du premier et 9 dans le deuxième groupe.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-1=0 et 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 16 à a, 10 à b et -9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Calculer le carré de 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplier -4 par 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Multiplier -64 par -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Additionner 100 et 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Extraire la racine carrée de 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Multiplier 2 par 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-10±26}{32} lorsque ± est positif. Additionner -10 et 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Réduire la fraction \frac{16}{32} au maximum en extrayant et en annulant 16.

$$x=\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-10±26}{32} lorsque ± est négatif. Soustraire 26 à -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Réduire la fraction \frac{-36}{32} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{9}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Ajouter 9 aux deux côtés de l’équation.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

La soustraction de -9 de lui-même donne 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Soustraire -9 à 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Divisez les deux côtés par 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

La division par 16 annule la multiplication par 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Réduire la fraction \frac{10}{16} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

DiVisez \frac{5}{8}, le coefficient de la x terme, par 2 d'obtenir \frac{5}{16}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{16} aux deux côtés de l'équation. Cette étape permet de faire du côté gauche de l'équation un carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{16} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Additionner \frac{9}{16} et \frac{25}{256} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Factoriser x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factorisé sous la forme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Soustraire \frac{5}{16} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$