Résoudre 15x^2-11x-14

$$15 x ^ { 2 } - 11 x - 14$$

Factoriser

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 15x^{2}+ax+bx-14. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-11 ab=15\left(-14\right)=-210$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -11.

$$a=-21 b=10$$

Réécrire 15x^{2}-11x-14 en tant qu’\left(15x^{2}-21x\right)+\left(10x-14\right).

$$\left(15x^{2}-21x\right)+\left(10x-14\right)$$

Factorisez 3x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(5x-7\right)+2\left(5x-7\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-11x-14=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 15\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 15\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-60\left(-14\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -60 par -14.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+840}}{2\times 15}$$

Additionner 121 et 840.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{961}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 961.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±31}{2\times 15}$$

L’inverse de -11 est 11.

$$x=\frac{11±31}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$x=\frac{11±31}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{11±31}{30} lorsque ± est positif. Additionner 11 et 31.

$$x=\frac{42}{30}$$

Réduire la fraction \frac{42}{30} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{7}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{11±31}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 31 à 11.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-20}{30} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{7}{5} par x_{1} et -\frac{2}{3} par x_{2}.

$$15x^{2}-11x-14=15\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$15x^{2}-11x-14=15\left(x-\frac{7}{5}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Soustraire \frac{7}{5} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{5x-7}{5}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Additionner \frac{2}{3} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{5x-7}{5}\times \frac{3x+2}{3}$$

Multiplier \frac{5x-7}{5} par \frac{3x+2}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)}{5\times 3}$$

Multiplier 5 par 3.

$$15x^{2}-11x-14=15\times \frac{\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)}{15}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 15 dans 15 et 15.

$$15x^{2}-11x-14=\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$

Évaluer

$$\left(5x-7\right)\left(3x+2\right)$$