Résoudre 15x^2+31x+10

$$15 x ^ { 2 } + 31 x + 10$$

Factoriser

$$\left(3x+5\right)\left(5x+2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 15x^{2}+ax+bx+10. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=31 ab=15\times 10=150$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 150.

$$1,150 2,75 3,50 5,30 6,25 10,15$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+150=151 2+75=77 3+50=53 5+30=35 6+25=31 10+15=25$$

La solution est la paire qui donne la somme 31.

$$a=6 b=25$$

Réécrire 15x^{2}+31x+10 en tant qu’\left(15x^{2}+6x\right)+\left(25x+10\right).

$$\left(15x^{2}+6x\right)+\left(25x+10\right)$$

Factorisez 3x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(5x+2\right)+5\left(5x+2\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}+31x+10=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de 31.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-60\times 10}}{2\times 15}$$

Multiplier -60 par 10.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-600}}{2\times 15}$$

Additionner 961 et -600.

$$x=\frac{-31±\sqrt{361}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 361.

$$x=\frac{-31±19}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$x=\frac{-31±19}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-31±19}{30} lorsque ± est positif. Additionner -31 et 19.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{30} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-31±19}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 19 à -31.

$$x=-\frac{50}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-50}{30} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{2}{5} par x_{1} et -\frac{5}{3} par x_{2}.

$$15x^{2}+31x+10=15\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$15x^{2}+31x+10=15\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Additionner \frac{2}{5} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{5x+2}{5}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Additionner \frac{5}{3} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{5x+2}{5}\times \frac{3x+5}{3}$$

Multiplier \frac{5x+2}{5} par \frac{3x+5}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)}{5\times 3}$$

Multiplier 5 par 3.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)}{15}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 15 dans 15 et 15.

$$15x^{2}+31x+10=\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)$$

Évaluer

$$\left(3x+5\right)\left(5x+2\right)$$