Résoudre 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 15x^{2}+ax+bx+2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

La solution est la paire qui donne la somme 11.

$$a=5 b=6$$

Réécrire 15x^{2}+11x+2 en tant qu’\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Factorisez 5x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x+1=0 et 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 15 à a, 11 à b et 2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Multiplier -60 par 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Additionner 121 et -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±1}{30} lorsque ± est positif. Additionner -11 et 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{30} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±1}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{30} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{2}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

La soustraction de 2 de lui-même donne 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Divisez les deux côtés par 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

La division par 15 annule la multiplication par 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Divisez \frac{11}{15}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{11}{30}. Ajouter ensuite le carré de \frac{11}{30} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{11}{30} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Additionner -\frac{2}{15} et \frac{121}{900} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Factor x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Soustraire \frac{11}{30} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$