Résoudre 15p^2+7p-2

$$15 p ^ { 2 } + 7 p - 2$$

Factoriser

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 15p^{2}+ap+bp-2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 7.

$$a=-3 b=10$$

Réécrire 15p^{2}+7p-2 en tant qu’\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right).

$$\left(15p^{2}-3p\right)+\left(10p-2\right)$$

Factorisez 3p du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$3p\left(5p-1\right)+2\left(5p-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 5p-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$15p^{2}+7p-2=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$p=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de 7.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49-60\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -60 par -2.

$$p=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 15}$$

Additionner 49 et 120.

$$p=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$p=\frac{-7±13}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$p=\frac{-7±13}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-7±13}{30} lorsque ± est positif. Additionner -7 et 13.

$$p=\frac{6}{30}$$

Réduire la fraction \frac{6}{30} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$p=\frac{1}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-7±13}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à -7.

$$p=-\frac{20}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-20}{30} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$p=-\frac{2}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{1}{5} par x_{1} et -\frac{2}{3} par x_{2}.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$15p^{2}+7p-2=15\left(p-\frac{1}{5}\right)\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Soustraire \frac{1}{5} de p en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\left(p+\frac{2}{3}\right)$$

Additionner \frac{2}{3} et p en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{5p-1}{5}\times \frac{3p+2}{3}$$

Multiplier \frac{5p-1}{5} par \frac{3p+2}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{5\times 3}$$

Multiplier 5 par 3.

$$15p^{2}+7p-2=15\times \frac{\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)}{15}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 15 dans 15 et 15.

$$15p^{2}+7p-2=\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$

Évaluer

$$\left(5p-1\right)\left(3p+2\right)$$