Résoudre 15b^2-100b-160

$$15 b ^ { 2 } - 100 b - 160$$

Factoriser

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Étapes de la solution

Exclure 5.

$$5\left(3b^{2}-20b-32\right)$$

Considérer 3b^{2}-20b-32. Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 3b^{2}+pb+qb-32. Pour rechercher p et q, configurez un système à résoudre.

$$p+q=-20 pq=3\left(-32\right)=-96$$

Étant donné que pq est négatif, p et q ont des signes opposés. Étant donné que p+q est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -96.

$$1,-96 2,-48 3,-32 4,-24 6,-16 8,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-96=-95 2-48=-46 3-32=-29 4-24=-20 6-16=-10 8-12=-4$$

La solution est la paire qui donne la somme -20.

$$p=-24 q=4$$

Réécrire 3b^{2}-20b-32 en tant qu’\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right).

$$\left(3b^{2}-24b\right)+\left(4b-32\right)$$

Factorisez 3b du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$3b\left(b-8\right)+4\left(b-8\right)$$

Factoriser le facteur commun b-8 en utilisant la distributivité.

$$\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Réécrivez l’expression factorisée complète.

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$15b^{2}-100b-160=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de -100.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 15\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-60\left(-160\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -60 par -160.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000+9600}}{2\times 15}$$

Additionner 10000 et 9600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{19600}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 19600.

$$b=\frac{-\left(-100\right)±140}{2\times 15}$$

L’inverse de -100 est 100.

$$b=\frac{100±140}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$b=\frac{100±140}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation b=\frac{100±140}{30} lorsque ± est positif. Additionner 100 et 140.

$$b=\frac{240}{30}$$

Diviser 240 par 30.

$$b=8$$

Résolvez maintenant l’équation b=\frac{100±140}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 140 à 100.

$$b=-\frac{40}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-40}{30} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$b=-\frac{4}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez 8 par x_{1} et -\frac{4}{3} par x_{2}.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\left(b+\frac{4}{3}\right)$$

Additionner \frac{4}{3} et b en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15b^{2}-100b-160=15\left(b-8\right)\times \frac{3b+4}{3}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 3 dans 15 et 3.

$$15b^{2}-100b-160=5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$

Évaluer

$$5\left(b-8\right)\left(3b+4\right)$$