Résoudre 15x^2-8x-16

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Factoriser

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 15x^{2}+ax+bx-16. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=-20 b=12$$

Réécrire 15x^{2}-8x-16 en tant qu’\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right).

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

Factorisez 5x du premier et 4 dans le deuxième groupe.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -60 par -16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

Additionner 64 et 960.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 1024.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

L’inverse de -8 est 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±32}{30} lorsque ± est positif. Additionner 8 et 32.

$$x=\frac{40}{30}$$

Réduire la fraction \frac{40}{30} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=\frac{4}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±32}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 32 à 8.

$$x=-\frac{24}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-24}{30} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{4}{3} par x_{1} et -\frac{4}{5} par x_{2}.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Soustraire \frac{4}{3} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Additionner \frac{4}{5} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Multiplier \frac{3x-4}{3} par \frac{5x+4}{5} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

Multiplier 3 par 5.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 15 dans 15 et 15.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Évaluer

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$