Résoudre 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Calculer x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 15x^{2}+ax+bx-4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

La solution est la paire qui donne la somme 4.

$$a=-6 b=10$$

Réécrire 15x^{2}+4x-4 en tant qu’\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

Factorisez 3x du premier et 2 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Factoriser le facteur commun 5x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5x-2=0 et 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 15 à a, 4 à b et -4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Multiplier -60 par -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Additionner 16 et 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±16}{30} lorsque ± est positif. Additionner -4 et 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Réduire la fraction \frac{12}{30} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{2}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±16}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 16 à -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-20}{30} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Ajouter 4 aux deux côtés de l’équation.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

La soustraction de -4 de lui-même donne 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Soustraire -4 à 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Divisez les deux côtés par 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

La division par 15 annule la multiplication par 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Divisez \frac{4}{15}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{2}{15}. Ajouter ensuite le carré de \frac{2}{15} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{2}{15} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Additionner \frac{4}{15} et \frac{4}{225} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Soustraire \frac{2}{15} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$