Résoudre 144x^2-128x+64=256

$$144 { x }^{ 2 } -128x+64=256$$

Calculer x

$$x = \frac{2 \sqrt{31} + 4}{9} \approx 1,681725414$$

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}\approx -0,792836525$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$144x^{2}-128x+64=256$$

Soustraire 256 des deux côtés de l’équation.

$$144x^{2}-128x+64-256=256-256$$

La soustraction de 256 de lui-même donne 0.

$$144x^{2}-128x+64-256=0$$

Soustraire 256 à 64.

$$144x^{2}-128x-192=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 144 à a, -128 à b et -192 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{\left(-128\right)^{2}-4\times 144\left(-192\right)}}{2\times 144}$$

Calculer le carré de -128.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-4\times 144\left(-192\right)}}{2\times 144}$$

Multiplier -4 par 144.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-576\left(-192\right)}}{2\times 144}$$

Multiplier -576 par -192.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384+110592}}{2\times 144}$$

Additionner 16384 et 110592.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{126976}}{2\times 144}$$

Extraire la racine carrée de 126976.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±64\sqrt{31}}{2\times 144}$$

L’inverse de -128 est 128.

$$x=\frac{128±64\sqrt{31}}{2\times 144}$$

Multiplier 2 par 144.

$$x=\frac{128±64\sqrt{31}}{288}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{128±64\sqrt{31}}{288} lorsque ± est positif. Additionner 128 et 64\sqrt{31}.

$$x=\frac{64\sqrt{31}+128}{288}$$

Diviser 128+64\sqrt{31} par 288.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{9}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{128±64\sqrt{31}}{288} lorsque ± est négatif. Soustraire 64\sqrt{31} à 128.

$$x=\frac{128-64\sqrt{31}}{288}$$

Diviser 128-64\sqrt{31} par 288.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{9} x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$144x^{2}-128x+64=256$$

Soustraire 64 des deux côtés de l’équation.

$$144x^{2}-128x+64-64=256-64$$

La soustraction de 64 de lui-même donne 0.

$$144x^{2}-128x=256-64$$

Soustraire 64 à 256.

$$144x^{2}-128x=192$$

Divisez les deux côtés par 144.

$$\frac{144x^{2}-128x}{144}=\frac{192}{144}$$

La division par 144 annule la multiplication par 144.

$$x^{2}+\left(-\frac{128}{144}\right)x=\frac{192}{144}$$

Réduire la fraction \frac{-128}{144} au maximum en extrayant et en annulant 16.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=\frac{192}{144}$$

Réduire la fraction \frac{192}{144} au maximum en extrayant et en annulant 48.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x=\frac{4}{3}$$

Divisez -\frac{8}{9}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{4}{9}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{4}{9} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{4}{9}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{4}{9} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{4}{3}+\frac{16}{81}$$

Additionner \frac{4}{3} et \frac{16}{81} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}=\frac{124}{81}$$

Factor x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{16}{81}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}=\frac{124}{81}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{124}{81}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{4}{9}=\frac{2\sqrt{31}}{9} x-\frac{4}{9}=-\frac{2\sqrt{31}}{9}$$

Ajouter \frac{4}{9} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{9} x=\frac{4-2\sqrt{31}}{9}$$