Résoudre 120x^2+8000x-92000=0

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Divisez les deux côtés par 40.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-2300. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -6900.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

La solution est la paire qui donne la somme 200.

$$a=-30 b=230$$

Réécrire 3x^{2}+200x-2300 en tant qu’\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

Factorisez 3x du premier et 230 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Factoriser le facteur commun x-10 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-10=0 et 3x+230=0.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 120 à a, 8000 à b et -92000 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Calculer le carré de 8000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplier -4 par 120.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

Multiplier -480 par -92000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

Additionner 64000000 et 44160000.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

Extraire la racine carrée de 108160000.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

Multiplier 2 par 120.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8000±10400}{240} lorsque ± est positif. Additionner -8000 et 10400.

$$x=\frac{2400}{240}$$

Diviser 2400 par 240.

$$x=10$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8000±10400}{240} lorsque ± est négatif. Soustraire 10400 à -8000.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

Réduire la fraction \frac{-18400}{240} au maximum en extrayant et en annulant 80.

$$x=-\frac{230}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Ajouter 92000 aux deux côtés de l’équation.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

La soustraction de -92000 de lui-même donne 0.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

Soustraire -92000 à 0.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Divisez les deux côtés par 120.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

La division par 120 annule la multiplication par 120.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

Réduire la fraction \frac{8000}{120} au maximum en extrayant et en annulant 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

Réduire la fraction \frac{92000}{120} au maximum en extrayant et en annulant 40.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

Divisez \frac{200}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{100}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{100}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{100}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Additionner \frac{2300}{3} et \frac{10000}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Soustraire \frac{100}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$