Résoudre 12x^2-5x-2

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 2$$

Factoriser

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 12x^{2}+ax+bx-2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-5 ab=12\left(-2\right)=-24$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -5.

$$a=-8 b=3$$

Réécrire 12x^{2}-5x-2 en tant qu’\left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right).

$$\left(12x^{2}-8x\right)+\left(3x-2\right)$$

Factoriser 4x dans 12x^{2}-8x.

$$4x\left(3x-2\right)+3x-2$$

Factoriser le facteur commun 3x-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$12x^{2}-5x-2=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-2\right)}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par -2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 12}$$

Additionner 25 et 96.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 12}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±11}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$x=\frac{5±11}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±11}{24} lorsque ± est positif. Additionner 5 et 11.

$$x=\frac{16}{24}$$

Réduire la fraction \frac{16}{24} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±11}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à 5.

$$x=-\frac{6}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-6}{24} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{2}{3} par x_{1} et -\frac{1}{4} par x_{2}.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$12x^{2}-5x-2=12\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Soustraire \frac{2}{3} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Additionner \frac{1}{4} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{3x-2}{3}\times \frac{4x+1}{4}$$

Multiplier \frac{3x-2}{3} par \frac{4x+1}{4} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{3\times 4}$$

Multiplier 3 par 4.

$$12x^{2}-5x-2=12\times \frac{\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)}{12}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 12 dans 12 et 12.

$$12x^{2}-5x-2=\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Évaluer

$$\left(3x-2\right)\left(4x+1\right)$$